V tej predstavitvi opazujemo energijo in harmonično nihanje tako pri matematičnem nihalu, kot pri uteži na vzmeti.
V tej predstavitvi bomo opazovali energijo in harmonično nihanje tako pri matematičnem nihalu, kot pri uteži na vzmeti. Obravnavali bomo nihanje nihala z majhnimi amplitudami, kar nam da harmonično nihanje (za podrobnosti glej Predstavitev 16.2). Poleg tega smo, kot v Predstavitvi 16.2, uporabili utež nihala z maso1.0 kg in dolžino nihala 15 m, medtem ko naj ima utež na vzmeti maso 2.0 kg, konstanta vzmeti pa naj bo 1,30666 N/m (položaj je podan v metrih, kot v radianih, čas v sekundah). Ponovni zagon. S temi vrednostmi uglasimo nihanji obeh sistemov tako, da sta enaki:
ωvzmet-utez = (k/m)1/2 = ωnihala = (kefekt/m)1/2 = (g/L)1/2.
V naslednjih animacijah bomo prikazali diagrame
kinetične in potencialne energije sistema vzmet-utež, ne bomo pa
prikazali kinetične in potencialne energije nihala.
Vendar bosta kinetična in potencialna energija nihala enaki
natančno
polovici kinetične in potencialne energije (torej polovici
celotne energije) sistema vzmet-utež. Zakaj polovici? Sistem z
vzmetjo ima kinetično energijo (1/2 mv2) in potencialno
energijo (1/2 kx2), pri nihalu pa je kinetična energija
uteži (1/2 mv2) ter potencialna energija (1/2 kefektx2).
Ker ima v tej predstavitvi utež na vzmeti dvakrat večjo maso od tiste
na nihalu, bo sistem z vzmetjo vedno imel dvakrat večjo kinetično
energijo od tiste pri nihalu. Ker je konstanta vzmeti pri sistemu
vzmet-utež dvakrat večja od efektivne konstante vzmeti nihala
(keffective = mnihalag/L = 0.6533 N/m), bo
sistem vzmet - utež vedno imel dvakrat večjo potencialno energijo od
tiste pri nihalu.
Poglejmo Animacijo 1, ki kaže diagram kinetične in potencialne energije glede na položaj. Kaj lahko povemo o celotni energiji sistema? Je konstantna in ima približno 1,89 J. Energija je v začetku v celoti potencialna, v ravnovesnem položaju pa je čisto kinetična. Pri maksimalni kompresiji vzmeti je spet povsem potencialna. Ker je celotna energija enaka vsoti kinetične in potencialne, imamo
W = mv 2/2 + k x2 /2 = k xmax2/2= m vmax2/2.
Poglejmo Animacijo 2, ki kaže diagrama kinetične in potencialne energije v časovni odvisnosti. Funkcijsko sta oba diagrama različna.
Diagrama v Animaciji 1 imata obliko k x2/2 (prožnostna energija) in obliko A = - k x2/2 (kinetična energija), pri čemer je A konstanta, celotna energija. V tej animaciji je celotna energija enaka 1,89 J. Obliko kinetične energije lahko razumemo iz zgornje energijske funkcije. Potencialna energija je k x2/2, torej sorazmerna x2. Kinetično energijo lahko zapišemo s pomočjo izrazov za celotno E in potencialno energijo kot E - k x2/2.
Diagrama v Animaciji
2 imata obliko cos2
(potencialna energija) oziroma sin2 (kinetična
energija), obe trigonometrični funkciji sta funkciji časa. Zakaj? Iz
harmoničnega nihanja vemo, da v primeru, ko
telo odmaknemo iz ravnovesja in spustimo, velja
x = x0 cos (ωt) in v = -ω x0sin (ωt).
Za kinetično in potencialno energijo imamo
Wk(t) = (1/2) k x02 sin2(ωt) in Wp(t) = (1/2) k x02 cos2(ωt),
pri čemer smo za poenostavitev kinetične energije uporabili ω2 = k/m. Celotna kinetična energija se bo zato vedno seštela v k x02/2 = 1,89 J.