Leta 1610 je Galileo odkril štiri Jupitrove lune. Kazalo je, kot da se vsaka luna giblje naprej in nazaj, kar bi lahko imenovali preprosto harmonično nihanje. Kaj je v resnici videl Galileo? V bistvu je gledal enakomerno kroženje posameznih lun, vendar je na to gledal s strani. Galileovo izkušnjo lahko uporabimo pri spoznavanju lastnosti harmoničnega nihanja ob uporabi analogije z enakomernim kroženjem. Poglejmo si zgornjo animacijo (položaj je podan v metrih, čas v sekundah).

Najprej si oglejmo časovni potek položaja. Na krožnici imamo z rdečo kroglo označeno točko, ki je vedno na razdalji polmera R. Če pogledamo položaj y v časovni odvisnosti, dobimo y = R cos(ωt); podobno dobimo za časovno odvisnost položaja x izraz x = R sin(ωt). Kako to vemo? Polmer smo razstavili na njegovi komponenti.

Kaj lahko rečemo o hitrosti? Vemo, da je tangentna na tirnico krogle in da ima (ker je gibanje enakomerno), konstantno velikost, enako ωR. Tudi vektor hitrosti lahko razstavimo na komponenti in dobimo v_y = ωR sin(ωt) in v_x = -ωR cos(ωt). Obe komponenti sta odvisni od časa. Pogled na animacijo nas prepriča, da je tako razstavljanje pravilno. Če znamo dovolj matematike, lahko izračunamo odvod poloľaja v časovni odvisnosti in dobimo spet  v_y = -ωR sin(ωt) in v_x = ωR cos(ωt).

Vemo tudi, da je pospešek konstanten, v²/R konstanten in usmerjen proti središču kroga. Tudi pospešek bi lahko razstavili na njegovi komponenti in dobili a_y = -ω²R cos(ωt) in a_x = -ω²R sin(ωt). Spet velja da bi ob primernem poznavanju matematike lahko odvajali hitrost po času. Dobili bi a_y = -ω²R cos(ωt) in a_x = -ω²R sin(ωt). Ker je to gibanje harmonično, mora biti neka povezava med poloľajem in silo. Za silo tudi velja, da je to "linerna sila, ki vzpostavlja prejšnje stanje", hkrati pa tudi produkt mase in pospeška. Tako dobimo ma = - k x, oziroma a(t) = - (k/m) x(t) = - ω² x(t). To dobimo s primerjavo funkcij za y(t) in x(t) z a_y(t) in a_x(t).

Za harmonično nihanje spreminjamo dve stvari, R → y₀, pri čemer je y₀ amplituda, opazujemo pa le eno smer, v našem primeru smer y. To nam da:
y  = y₀ cos(ωt), v = -ω y₀ sin(ωt), in a = -ω²y₀ cos(ωt). Harmonično nihanje zahteva silo, sorazmerno z odmikom, ravnovesno stanje in odmik od tega ravnovesja.